Akar-akar Rasional dari Persamaan Sukubanyak

MATEMATIKA/SMA/XI/SUKUBANYAK

Apa kabar adik-adik SMA? Senang rasanya Kak Hady bisa bertemu kalian kembali. Pada kesempatan hari ini Kak Hady akan kembali berbagi contoh soal dan pembahasan yang tentunya masih pada bab Sukubanyak. Kali ini topik yang akan disampaikan adalah tentang Akar-akar Rasional dari Persamaan Sukubanyak. OK, sebelum ke materi pokok, ingat kembali yuk cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut.

Tentukan akar-akar penyelesaian dari persamaan kuadrat x² + 3x + 2 = 0 dengan cara memfaktorkan:
PEMBAHASAN:
x² + 3x + 2 = 0
x²+3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2) = 0
x + 1 = 0 ↔ x = -1 atau
x + 2 = 0 ↔ x = -2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-1,-2}
Kalian pasti sudah paham. Karena yang Kak Hady jelaskan di atas adalah materi kelas X. Persamaan kuadrat juga disebut sukubanyak dengan pangkat tertinggi 2. Untuk mencari akar-akar dari sukubanyak dengan pangkat tertinggi lebih dari 2 bisa kalian peroleh dengan memfaktorkan terlebih dahulu sehingga memuat sukubanyak dengan pangkat tertinggi 2 juga. Jalan yang bisa ditempuh bisa menggunakan metode Horner, Substitusi maupun cara pembagian bersusun. Selanjutnya perhatikan teorema berikut:

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak.
(x - k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0.
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak f(x) = 0.

OK tiba saatnya ke pembahasan inti. Dengan memahami teorema di atas tentu kalian bisa memahami contoh soal dan pembahasan di bawah ini. Yuk kita simak baik-baik.

1. Jika salah satu akar dari 2x² + 2x - 12 = 0 adalah x = 2. Tentukanlah akar yang lainnya!
   
   PEMBAHASAN:
   Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah akar persamaan f(x) = 0
   2x + 6 = 0
   2x = -6
   x = -6/2
   x = -3
   Jadi, akar yang lain adalah -3
   
   
2. Jika 2 adalah sebuah akar dari persamaan sukubanyak x³ - ax² + 26x - 24 = 0. Hitung nilai a kemudian tentukan akar-akar yang lain.
   PEMBAHASAN:
   x³ - ax² + 26x - 24 = 0
   f(2) = (2)³ - (2a)² + 26.2 - 24 = 0
   f(2) = 8 - 4a + 52 - 24
   f(2) = 36 - 4a
   x = 2 adalah akar persamaan f(x) = 0,
   maka: 36 - 4a = 0
   - 4a = –36
       a = 9
   Untuk a = 9, maka persamaannya menjadi: x³ - 9x² + 26x - 24 = 0
   Untuk mencari akar yang lain, dicari terlebih dahulu hasil bagi x³ - 9x² + 26x - 24 = 0 dengan x - 2 menggunakan metode Horner
   
   Hasil baginya adalah x² - 7x + 12
   x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
   (x - 3)(x - 4) = 0
   x - 3 = 0 ↔ x = 3 atau
   x - 4 = 0 ↔ x = 4
   
   Jadi, akar-akar yang lainnya adalah 3 dan 4
3. Jika -3 adalah sebuah akar dari persamaan sukubanyak x³ + px² - 10x + 24 = 0. Hitung nilai p kemudian tentukan akar-akar yang lain!.
   Nah, kalau yang ini kalian sendiri saja ya yang mengerjakan. Langkah pengerjaannya sama seperti nomor 2. Kalo berhasil mengerjakan dengan benar hasil akhirnya adalah:
   p = -3
   akar-akar yang lainnya adalah 2 dan 4

Cukup sekian yang dapat Kak Hady sampaikan. Semoga kalian memahaminya dengan baik. Tetap semangat dan …
Salam matematika!

Lihat juga:

• Menentukan Faktor-faktor Suatu Sukubanyak
• Bentuk Sukubanyak Yang Habis Dibagi